Cho $\Delta ABC$ cân tại A, kẻ AH vuông góc với...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền- cạnh góc vuông) từ đó suy ra đpcm

b) Chứng minh DE và AH cùng vuông góc với DH

c) Dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác để chứng minh

d) Chứng minh B là trọng tâm và $FG$ là đường trung tuyến trong $\Delta CEF$

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có: AH chung ; $\angle AHB = \angle AHC = {90^o}$; $AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền- cạnh góc vuông) $\Rightarrow HB = HC$ (2 cạnh tương ứng) và $\angle HAB = \angle HAC$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow$ AH là tia phân giác của $\angle BAC$.

b) Xét $\Delta EDB$ và $\Delta AHB$ có: $BD = BH$ (gt) ;$\angle EBD = \angle ABH$ (đối đỉnh); $BE = BA$ (gt)

$\Rightarrow \Delta EDB = \Delta AHB$ (c.g.c) $\Rightarrow \angle EDB = \angle AHB = {90^o}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow$ DE // AH (cùng vuông góc với DH)

c) Ta có DE // AH (cmt) $\Rightarrow \angle BAH = \angle DEA$ (so le trong)

Có $\Delta AHD$ vuông tại H $\Rightarrow AD > AH$ (AD là cạnh huyền)

Mà $AH = ED$ ($\Delta EDB = \Delta AHB$ cmt) $\Rightarrow AD > ED$

Xét $\Delta ADE$ có $AD > ED$$\Rightarrow \angle DEA > \angle DAB$ (mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Mà $\angle BAH = \angle DEA$ (cmt) $\Rightarrow \angle DAB < \angle BAH$

d) Có $BD = BH$ (gt) ; $HB = HC$ (cmt) $\Rightarrow BD = BH = CH$

$\Rightarrow CB = BH + CH = 2BH;CD = BD + BH + CH =3BH$

$\Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{{2BH}}{{3BH}} = \dfrac{2}{3}$

 Có D là trung điểm của EF $\Rightarrow CD$ là đường trung tuyến trong $\Delta CEF$ mà $\dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{2}{3}$  (cmt)

$\Rightarrow$ B là trọng tâm của $\Delta CEF$

Có G là trung điểm của EC $\Rightarrow FG$ cũng là đường trung tuyến trong $\Delta CEF$

Mà B là trọng tâm của $\Delta CEF$ $\Rightarrow B \in FG \Rightarrow$ F, B, G thẳng hàng.