Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác \(\De...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số $\frac{a}{b+c-a},\frac{b}{c+a-b},\frac{c}{a+b-c}$.

Sau đó áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng để chứng minh

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3$ rồi dùng điều kiện dấu đẳng thức xảy ra.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số $\frac{a}{b+c-a},\frac{b}{c+a-b},\frac{c}{a+b-c}$ ta nhận được

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\sqrt(3){\frac{a}{b+c-a}\frac{b}{c+a-b}\frac{c}{a+b-c}}=3\sqrt(3){\frac{abc}{\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).$

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta có

$\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\le {{\left( \frac{\left( a+b-c \right)+\left( c+a-b \right)}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}.$

Tương tự ta có  $\left\{ \begin{align}  & \left( b+c-a \right)\left( a+b-c \right)\le {{b}^{2}} \\  & \left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\le {{c}^{2}} \\ \end{align} \right..$

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,{{\left( \left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right) \right)}^{2}}\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)\le abc \\  & \Leftrightarrow \frac{abc}{\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}\ge 1\,\,\left( 2 \right). \\ \end{align}$

Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta nhận được $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3.$

Do đó $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}  & b+c-a=a+b-c \\  & b+c-a=c+a-b \\  & a+b-c=c+a-b \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.$

Tức $\Delta ABC$ là tam giác đều.

Chọn đáp án D.