Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm \(M\left(...

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M\left( 2;\,2;\,1 \right)$ , $N\left( \frac{-8}{3};\,\frac{4}{3};\,\frac{8}{3} \right)$ . Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ .

${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=1$ .

${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ .

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ .

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ .

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ tâm nội tiếp của tam giác qua đường phân giác hoặc công thức tính nhanh

Giải chi tiết:

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ .

Ta áp dụng tính chất sau : “ Cho tam giác $OMN$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN, ta có $a.\overrightarrow{IO}+b.\overrightarrow{IM}+c.\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$ , với $a=MN$ , $b=ON$ , $c=OM$ ”.

Ta có $OM=3,$ $ON=4,$ $MN=5$ $\Rightarrow$ $5.\overrightarrow{IO}+4.\overrightarrow{IM}+3.\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow$ ${{x}_{I}}=\frac{5.0+4.2+3.\left( \frac{-8}{3} \right)}{3+4+5}=0;\,\,\,{{y}_{I}}=\frac{5.0+4.2+3.\left( \frac{4}{3} \right)}{3+4+5}=1;\,\,\,{{z}_{I}}=\frac{5.0+4.2+3.\left( \frac{8}{3} \right)}{3+4+5}=1$