Cho đường thẳng $d:y = 2{\rm{x}} + {m^2} - 1$ và...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) d cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B $\Leftrightarrow$ phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

b) Độ dài đoạn HK chính là hiệu hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Giải chi tiết:

a) Tìm m để d cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left( P \right)$ là : $2x + {m^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)$   

Để d cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B $\Leftrightarrow \;\;\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ' = {1^2} - \left( { - {m^2} + 1} \right) = {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.$

Vậy với $m \ne 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài).

Ta có H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành

$\Rightarrow$ Hoành độ của H và K bằng hoành độ lần lượt của A và B

Gọi ${x_1}\,,\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của (1) $\Rightarrow$ Hoành độ của H và K bằng ${x_1}\,,\,\,{x_2} \Rightarrow H\left( {{x_1};\;0} \right),\;K\left( {{x_2};\;0} \right).$

Theo hệ thức Vi-ét ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right.$

Để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2} = 9\\ \Leftrightarrow {2^2} - 4\left( { - {m^2} + 1} \right) = 9 \Leftrightarrow 4 + 4{m^2} - 4 = 9\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 9 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy vơi $m =  \pm \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.