Cho khối trụ $\left( T \right),\;\;AB$ và $CD$...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi $\left( O \right)$ là đường tròn đáy chứa $AB$ và $\left( {O'} \right)$ là đường tròn đáy chứa $CD$.

+) Gọi $A',\,\,B',\,C',\,\,D'$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C,D$ lên các đáy còn lại, khi đó ta có hình lăng trụ đứng $AC'BD'.A'CB'D$. Đặt ${V_{AC'BD'.A'CB'D}} = V$.

+) So sánh thể tích khối $ABCD$ đối với $V$, từ đó tính được $V$.

+) Tính diện tích đáy của lăng trụ $AC'BD'.A'CB'D$ và tính chiều cao của khối trụ $\left( T \right)$.

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ là $V = \pi {r^2}h$.

Giải chi tiết:

Gọi $\left( O \right)$ là đường tròn đáy chứa $AB$ và $\left( {O'} \right)$ là đường tròn đáy chứa $CD$.

Gọi $A',\,\,B',\,C',\,\,D'$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C,D$ lên các đáy còn lại, khi đó ta có hình lăng trụ đứng $AC'BD'.A'CB'D$. Đặt ${V_{AC'BD'.A'CB'D}} = V$

Ta có:

$\begin{array}{l}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + {V_{A.A'CD}} + {V_{B.B'CD}} + {V_{C.ABC'}} + {V_{D.ABD'}}\\ \Rightarrow V = {V_{ABCD}} + 4.\frac{1}{6}V \Leftrightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}V \Rightarrow V = 3{V_{ABCD}} = 90\,\,\left( {c{m^3}} \right)\end{array}$

Dễ dàng nhận thấy $AC'BD'$ là hình chữ nhật và $\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {AB;C'D'} \right) = {30^0}$.

$\Rightarrow {S_{AC'BD'}} = \frac{1}{2}AB.C'D'.\sin {30^0} = \frac{1}{2}.6.6.\frac{1}{2} = 9\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Lại có $V = AA'.{S_{AC'BD'}} \Rightarrow AA' = \frac{V}{{{S_{AC'BD'}}}} = \frac{{90}}{9} = 10\,\,\left( {cm} \right)$ = chiều cao của khối trụ $\left( T \right)$.

Vậy thể tích khối trụ $\left( T \right)$ là: $V = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.10 = 90\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Chọn A.