Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho số \({2^8...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cô lập ${2^n}$ sau đó phân tích ${2^n}$ dưới dạng tích các thừa số.

Giải chi tiết:

Giả sử ${2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,\left( {a \in \mathbb{N}} \right)$ thì

            ${2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right) \Rightarrow {2^p}{.2^q} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right)$

            với $p,\,\,q \in \mathbb{N}$ ; $p + q = n$ và $p > q$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3$

$\Rightarrow q = 5$ và $p - q = 2 \Rightarrow p = 7 \Rightarrow n=p + q = 7 + 5 = 12$.

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.