Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ có...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa bài toán về dạng phân thức $P\left( x \right) = C + \frac{A}{{MT}}$ với $A$ là hằng số.

Khi đó để $P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{A}{{MT}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow A\,\, \vdots \,\,MT$ hay MT  là ước của $A.$ Tìm ước của $A$ để giải quyết bài toán.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x \ne  - 1;\,\,x \ne  \pm 3.$

Ta có: $P = \frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{x + 3 - 2}}{{x + 3}} = 1 - \frac{2}{{x + 3}}$

Để biểu thức $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{2}{{x + 3}}} \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 3}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2\,\, \vdots \,\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right) \in U\left( 2 \right).$

Mà $U\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\} \Rightarrow \left( {x + 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2} \right\}.$

Khi đó ta có bảng:

Vậy với $x \in \left\{ { - 2; - 4; - 5} \right\}$ thì biểu thức $P$ có giá trị nguyên.

Chọn B.