Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích khối cầu bán kính r là: $V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}$.

Giải chi tiết:

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của 2 tam giác ABC và A’B’C’; I là trung điểm của OO’.

$\Rightarrow IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

$\Delta ABC$ đều cạnh a $\Rightarrow OA = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

I là trung điểm của OO’ $\Rightarrow OI = \dfrac{{OO'}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{3}}}{2} = \dfrac{a}{3}$

$\Delta AOI$ vuông tại O $\Rightarrow AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{9}}  = \dfrac{2}{3}a \Rightarrow$Bán kính khối cầu là: $r = \dfrac{2}{3}a$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$là: $V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{2}{3}a} \right)^3} = \dfrac{{32\pi {a^3}}}{{81}}$.

Chọn: B