Cho biểu thức: \(P = \frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đặt nhân tử chung, rút gọn các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Lấy kết quả vừa rút gọn được của biểu thức $P,\;$chứng minh $P \le 1$ với mọi giá trị của $x,y$  thỏa mãn điều kiện.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức: $P = \frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y$ (với $x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y$).

a) Rút gọn biểu thức $P.$

Điều kiện: $x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.$

$\begin{array}{l}P = \frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{x + 2\sqrt {xy}  + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x  + \sqrt y  - \frac{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x  + \sqrt y  - \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x  + \sqrt y  - \sqrt x  + \sqrt y  - y\\\;\;\; = 2\sqrt y  - y.\end{array}$

b) Chứng minh rằng $P \le 1.$

Ta có: $P \le 1$

$\Leftrightarrow 2\sqrt y  - y \le 1 \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt y  + y \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall y > 0.$

Vậy $P \le 1.$

Chọn B.