Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình $\Delta$ là đường thẳng qua I và vuông góc với đường thẳng $d:2x - 4y + 1 = 0$.

Tìm giao của $\Delta$ và $\left( C \right)$ là P, Q.

Lập luận để phương trình tiếp tuyến cần tìm là phương trình tiếp tuyến đi qua 2 điểm P, Q vừa tìm được.

Giải chi tiết:

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 2y - 10 = 0$ có tâm $I\left( { - 3;1} \right)$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua I và vuông góc với đường thẳng $d:2x - 4y + 1 = 0$

Đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 4} \right)$ là VTPT

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;2} \right)$ là một VTPT của $\Delta$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $\Delta$:

 $4\left( {x + 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5 = 0$

+) Gọi P, Q là giao điểm của $\left( C \right)$ và $\Delta  \Rightarrow$  tọa độ P, Q là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 6x - 2y - 10 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( { - 2x - 5} \right)^2} + 6x - 2\left( { - 2x - 5} \right) - 10 = 0\\y =  - 2x - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 30x + 25 = 0\\y =  - 2x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y =  - 3\\x =  - 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( { - 1; - 3} \right)\\Q\left( { - 5;5} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Gọi ${d_1},{d_2}$ là 2 tiếp tuyến cần tìm.

Vì ${d_1}//{d_2}//d\,\,;\,\,\Delta  \bot d;\,\,d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = R = IP = IQ$ ;  

$\Rightarrow {d_1},{d_2}$ vuông góc với $\Delta$ tại $P,\,\,Q \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 4} \right)$ là một VTPT của ${d_1},{d_2}$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng ${d_1}$: $2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng ${d_2}$: $2\left( {x + 5} \right) - 4\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 15 = 0$

Chọn C.