1)     Tháng đầu, hai tổ sản xuất được 900 chi tiế...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi.

+) Dựa vào dữ kiện đề bài cho để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Giải hệ phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận bài toán.

2) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và biểu thức bài cho để tìm giá trị của m.

+) Đối chiếu với điều kiện của m và kết luận.

Giải chi tiết:

1)               Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu tổ I sản xuất được là x, số chi tiết máy trong tháng đầu tổ II sản xuất được là y (chi tiết) (ĐK: $x,y\in \mathbb{N}*,x,y<900$ )

Vì tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy nên $x+y=900\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 10% nên số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là $110%x=1,1x$

Tháng thứ hai tổ II sản xuất vượt mức 12% nên số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là $112%y=1,12y$

Vì tháng thứ hai sản xuất được 1000 chi tiết máy nên $1,1x+1,12y=1000\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} x + y = 900\,\\ 1,1x + 1,12y = 1000\,\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1,1x + 1,1y = 990\,\\ 1,1x + 1,12y = 1000\,\,\, \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0,02y = 10\,\\ x + y = 900\,\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 500\,\\ x = 900 - y\,\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 400\,\,\left( {tm} \right)\,\\ y = 500\,\,\,\left( {tm} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Vậy số chi tiết máy trong tháng đầu tổ I sản xuất được là 400, số chi tiết máy trong tháng đầu tổ II sản xuất được là 500.

2)               Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì$\Delta >0$

$\Delta =25-4\left( 3m-1 \right)=-12m+29>0\Leftrightarrow m<\frac{29}{12}$

Khi đó theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1 \\ \end{align} \right.$

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - 3m + 1} \right) + 3\left( {3m - 1} \right) = 75\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {26 - 3m} \right) + 9m - 3 = 75 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {26 - 3m} \right) = 78 - 9m\\ \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} = 3 \end{array}$

Kết hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5$ suy ra ${{x}_{1}}=-1,\,{{x}_{2}}=-4$.

Khi đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\Leftrightarrow 4=3m-1\Leftrightarrow 3m=5\Leftrightarrow m=\frac{5}{3}\left( tm \right)$

Chọn D