Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(H\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. Viết phương trình (ABC) dạng đoạn chắn.

+) Thay tọa độ điểm H vào phương trình (ABC).

+) H là trực tâm của tam giác ABC $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.$, tìm tọa độ các điểm A, B, C.

Giải chi tiết:

Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. Khi đó phương trình mp(ABC) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Vì $H\left( 2;1;1 \right)\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 - a;1;1} \right).\left( {0; - b;c} \right) = 0\\\left( {2;1 - b;1} \right).\left( { - a;0;c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b + c = 0\\ - 2a + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = b\\c = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\a = \frac{c}{2}\end{array} \right.$.

Thay vào (1) ta có : $\frac{4}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{6}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\end{array} \right.$

Vậy phương trình mp(ABC) là $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 2x+y+z-6=0$

Chọn D.