Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp ${\left( {f\left( u \right)} \right)^\prime } = u'.f'\left( u \right)$

Từ đó kết hợp với đồ thị đã cho để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến

Giải chi tiết:

Ta có $g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right)$ suy ra $g'\left( x \right) = {\left( {f\left( {{x^2} - 2} \right)} \right)^\prime } = 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right)$

Từ đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta có $f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2$ và $f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < 2$ và $x \ne  - 1$

+ Để hàm $g\left( x \right)$ nghịch biến thì $g'\left( x \right) < 0 \Rightarrow 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 < 2\\x \ne  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 2 < x < 2\\x \ne  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x <  - 2\end{array} \right.$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( {0;2} \right)$ và $\left( { - \infty ; - 2} \right)$

Suy ra D sai.

Chọn D.

Chú ý khi giải:

Các em cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.