Giải phương trình \(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem $\cos 2x=0\,\,\left( \sin 2x=\pm 1 \right)$ có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi $\cos 2x\ne 0$. Chia 2 vế phương trình cho ${{\cos }^{2}}2x$.

Giải chi tiết:

Trường hợp 1: $\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = {\pi  \over 2} + k\pi  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$. Khi đó  ${\sin ^2}2x = 1$

Thay vào phương trình ta có:  $3.1 - 0 - 4.0 = 2 \Leftrightarrow 3 = 2$(Vô lý)

$\Rightarrow x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos ^2}2x$ ta được:

$\eqalign{ & 3{{{{\sin }^2}2x} \over {{{\cos }^2}2x}} - {{\sin 2x} \over {\cos 2x}} - 4 = {2 \over {{{\cos }^2}2x}} \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \cr}$

Đặt $\tan 2x = t$. Khi đó phương trình trở thành

$\eqalign{ & {t^2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 3 \hfill \cr t = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan 2x = 3 \hfill \cr \tan 2x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr 2x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 2}\arctan 3 + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr x = {1 \over 2}\arctan \left( { - 2} \right) + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}$

Chọn A.