Cho phương trình

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$ thì phương trình tương đương với:

$\left(m-1\right){\log }_x^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m-1=0$ (1)

Đặt ${\log }_2\left(x-2\right)=t$. Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$ thì $t\in \left[-1;1\right]$. Phương trình (1) trở thành:

$\left(m-1\right)t^2+\left(m-5\right)+m-1=0\iff m\left(t^2+t+1\right)=t^2+5t+1\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}$ (2)

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$ .

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)=\frac{-4\left(t^2-1\right)}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}\ge 0,\forall t\in \left[-1;1\right];f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$. Khi đó hàm số [-1;1] đồng biến trên [-1;1]. Suy ra  $\underset{[-1;1]}{min}f\left(t\right)=f(-1)=-3$$\underset{[-1;1]}{max}f\left(t\right)=f\left(1\right)=\frac{7}{3}$.

Phương trình (2) có nghiệm $\iff$ Đường thẳng $y-m$ cắt đồ thị hàm số

$f\left(t\right)\iff -3\le m\le \frac{7}{3}$. Vậy $S=\left[-3;\frac{7}{3}\right]\to a=-3b,b=\frac{7}{3}\to a=-3,b=\frac{7}{3}\to a+b=-3+\frac{7}{3}=-\frac{2}{3}$.