\({x^3} + \left( {4 + {x^2}} \right)\sqrt {3 - {x^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về cùng một vế biến đổi thành bất phương trình tích

\(\sqrt {f\left( x \right)}  > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)  với \(f\left( x \right) \ge 0\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 8} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\sqrt {3 - {x^2}}  > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\sqrt {3 - {x^2}}  > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\left( {\sqrt {3 - {x^2}}  + x - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 - {x^2}}  + x - 2 > 0\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} + 2x + 4 = {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right]} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 - {x^2}}  > 2 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\3 - {x^2} > 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2{x^2} - 4x + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} < x < \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} < x < \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ ta được tập nghiệm của phương trình là:  \(S = \left( {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2};\,\,\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} \right).\)

Chọn D.