Cho hai số thực $x,{\rm{ }}y$ thỏa mãn:\(x - 3\s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh bất đẳng thức $2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}$ từ đó áp dụng tìm giá trị lớn nhất của $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2}$ suy ra giá trị lớn nhất của $P$

Giải chi tiết:

Cho hai số thực $x,{\rm{ }}y$ thỏa mãn:$x - 3\sqrt {x + 1}  = 3\sqrt {y + 2}  - y$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y.$ 

Điều kiện: $x \ge  - 1;\,\,y \ge  - 2.$

Với $\forall a,b$ ta có: ${a^2} + {b^2} \ge 2ab$ $\Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}$    (1)

Dấu “=” của (1) xảy ra $\Leftrightarrow a = b$

Ta có:

$x - 3\sqrt {x + 1}  = 3\sqrt {y + 2}  - y \Leftrightarrow x + y = 3\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)$

Áp dụng (1) ta được: ${\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 2\left( {x + y + 3} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 9{\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 18\left( {x + y + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 18\left( {x + y} \right) - 54 \le 0 \Rightarrow x + y \le 9 + 3\sqrt {15} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 9 + 3\sqrt {15} \\\sqrt {x + 1}  = \sqrt {y + 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng $9 + 3\sqrt {15}$ đạt tại  $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.$

Chọn D.