Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1-...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Giải chi tiết:

Gọi $I\left( 1;1 \right),\,\,J(-1;-3),\,\,A(2;3)$. Xét số phức $z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)$, có điểm biểu diễn là $M(x;y)$.

$\left| z-1-i \right|+\left| z+1+3i \right|=6\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}=6\sqrt{5}$ (1)

$\Leftrightarrow MI+MJ=6\sqrt{5}\Rightarrow M$di chuyển trên đường elip có tiêu điểm $I$ và $J$, độ dài trục lớn là $3\sqrt{5}$ (như hình vẽ).

Tìm giá trị lớn nhất của $\left| z-2-3i \right|$ tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip.

Ta có: $\overrightarrow{IA}=(1;2),\,\,\overrightarrow{JA}=(3;6)\Rightarrow \overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}$, điểm A nằm trên trục lớn của elip.

$\Rightarrow AM$ đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ $\Rightarrow S\left( 0;-1 \right)$.

Độ dài đoạn $AB=SA+SB$

Mà $\overrightarrow{AS}=\left( -2;-4 \right)\Rightarrow AS=2\sqrt{5}$,  $SB=\frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$ $\Rightarrow AB=5\sqrt{5}$

Vậy ${{\left| z-2-3i \right|}_{\max }}=5\sqrt{5}$.

Chọn: D