Cho hàm số $y = 2{x^3} + 3m{x^2} + 3x + {m^2}$ ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi ${x_1};{x_2}$ là hai cực trị của hàm số.

Để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của đường thẳng $y = 3x - 4$ thì $\left( {3{x_1} - 4} \right)\left( {3{x_2} - 4} \right) < 0$.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = R$

Ta có $y' = 6{x^2} + 6mx + 3$

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow pt\,\,y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

$\Leftrightarrow 9{m^2} - 18 > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\m <  - \sqrt 2 \end{array} \right.$

Gọi hai điểm cực trị của hàm số là ${x_1};{x_2} \Rightarrow$ ${x_1};{x_2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $y' = 0$.

Để hai điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng $y = 3x - 4$

$\Rightarrow \left( {3{x_1} - 4} \right)\left( {3{x_2} - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{x_1}{x_2} - 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 16 < 0$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow 9.\frac{1}{2} - 12\left( { - m} \right) + 16 < 0 \Leftrightarrow 12m <  - \frac{{41}}{2} \Leftrightarrow m < \frac{{ - 41}}{{24}}$. Kết hợp điều kiện ta có $m \in \left( { - 10;\frac{{ - 41}}{{24}}} \right)$

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.