Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1.$ Giá trị nhỏ n...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Phân tích đề: đề bài cho $x+y=1\Rightarrow$ tìm cách làm xuất hiện $x+y$.

- Áp dụng các bất đẳng thức: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ và $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.

Giải chi tiết:

Ta viết lại $M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\,\,\left( 1 \right).$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ với $a={{x}^{2}}+{{y}^{2}},b=2xy$ ta nhận được

$\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}\ge \frac{4}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2xy}=\frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=4\,\,\left( 2 \right).$

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\ge \sqrt{xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\ge xy\Leftrightarrow 2xy\le \frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{3}{2xy}\ge 6\,\,\left( 3 \right).$

Thay $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta nhận được $M=\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy} \right)+\frac{3}{2xy}\ge 4+6=10.$

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\& x+y=1 \\& x=y \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$

Chọn đáp án A.