Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm quy luật và tìm ${u_n}$, phân tích và tính tổng ${u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$.

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{u_1} = \frac{2}{3} = \frac{2}{{{2^2} - 1}}\\{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{2\left( {2.1 + 1} \right){u_1} + 1}} = \frac{2}{{15}} = \frac{2}{{{4^2} - 1}}\\{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{2\left( {2.2 + 1} \right){u_2} + 1}} = \frac{2}{{35}} = \frac{2}{{{6^2} - 1}}\\.....\\{u_n} = \frac{2}{{{{\left( {2n} \right)}^2} - 1}}\\\,\,\,\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{2^2} - 1}} + \frac{2}{{{4^2} - 1}} + \frac{2}{{{6^2} - 1}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {2n} \right)}^2} - 1}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + ... + \frac{2}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{2n + 1}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{2n + 1}} < \frac{1}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 2n + 1 > 2018 \Leftrightarrow n > 1008,5\,\,\left( {n \in N} \right)\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn là $n = 1009$.

Chọn D.