Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, tìm điểm M trong...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.

Giải chi tiết:

Xét một điểm M bất kì trong tam giác, tia AM cắt cạnh BC ở D .

Kẻ $BE \bot AD,\,\,CF \bot AD$. Ta có:

$BE \le BD$$\Rightarrow AM.BE \le AM.BD$

$CF \le CD \Rightarrow AM.CF \le AM.CD$

$\Rightarrow \left( {BE + CF} \right).AM \le \left( {BD + CD} \right).AM$.

Nhưng:

$\begin{array}{l}BE.AM = 2{S_{AMB}}\\CF.AM = 2{S_{AMC}}\\BD + DC = BC\end{array}$

Do đó $2\left( {{S_{AMB}} + {S_{AMC}}} \right) \le BC.AM$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E và F trùng với D. Khi đó $AM \bot BC$.

Tương tự ta có:

$\begin{array}{l}2\left( {{S_{ABM}} + {S_{CBM}}} \right) \le AC.BM\,\,\,\left( 2 \right)\\2\left( {{S_{CBM}} + {S_{ACM}}} \right) \le AB.CM\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}$

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $4\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}} + {S_{CBM}}} \right) \le MA.BC + MB.CA + MC.AB$.

Do dó: $\min \left( {MA.BC + MB.CA + MC.AB} \right) = 4{S_{ABC}}$ khi và chỉ khi $AM \bot BC$, $BM \bot AC$, $CM \bot AB$, khi đó M là trực tâm của $\Delta ABC$.