Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra $SI\bot AD\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)$ và $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Kẻ $Ax\parallel BD$. Do đó $d\left( BD;SA \right)=d\left( BD;\left( SAx \right) \right)=d\left( D;\left( SAx \right) \right)=2d\left( I;\left( SAx \right) \right)$.

Kẻ $IE\bot Ax$, kẻ $IK\bot SE\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SI\\Ax \bot IE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow Ax \bot IK\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow IK\bot \left( SAx \right)$. Khi đó $d\left( I;\left( SAx \right) \right)=IK$.

Gọi $F$ là hình chiếu của I trên $BD$, ta dễ dàng chứng minh được $\Delta IAE=\Delta IDF\left( ch-gn \right)\Rightarrow IE=IF=\frac{AO}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Tam giác vuông $SIE$, có $IK=\frac{SI.IE}{\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{E}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{21}}{14}$.

Vậy $d\left( BD;SA \right)=2IK=\frac{a\sqrt{21}}{7}.$

Chọn C.