Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$

Với $a > 0:$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số ${y_{\min }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}$ đạt được tại $x =  - \frac{b}{{2a}}.$

 Với $a < 0:$ Giá trị lớn nhất của hàm số ${y_{\max }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}$ đạt được tại $x =  - \frac{b}{{2a}}.$

Giải chi tiết:

Parabol có hệ số theo ${x^2}$ là $a = 4 > 0$ nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh ${x_I} = \frac{m}{2}.$

Ta có bảng biến thiên:

+) TH1:  $\frac{m}{2} <  - 2 \Leftrightarrow m <  - 4 \Rightarrow {x_I} <  - 2 < 0 \Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 6m + 16.$

Theo yêu cầu bài toán: $\Rightarrow {m^2} + 6m + 16 = 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} + 4 = 0$ (vô nghiệm)

+) TH2:  $- 2 \le \frac{m}{2} \le 0 \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 0 \Rightarrow {x_I} \in \left[ { - 2;0} \right]$

$\Rightarrow y = f\left( x \right)$ đạt  GTNN  tại đỉnh ${x_I} = \frac{m}{2}.$

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{m}{2}} \right) =  - 2m$.

Theo yêu cầu bài toán: $\Rightarrow  - 2m = 3 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)$

+) TH3:  $\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ thì ${x_I} > 0 >  - 2 \Rightarrow$ Hàm số  $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ { - 2;0} \right]$.

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2m.$

Theo yêu cầu bài toán: $\Rightarrow {m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)}\\{m = 3\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}.} \right.$

Vậy $S = \left\{ { - \frac{3}{2};3} \right\} \Rightarrow T =  - \frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}.$ 

Chọn  C.