Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuô...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right) \bot \left( \gamma  \right)\\\left( \beta  \right) \bot \left( \gamma  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( \gamma  \right)$

Giải chi tiết:

ABCD là hình thang vuông

$\Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {DC + AB} \right).AD = \dfrac{1}{2}.\left( {a + 2a} \right).2a = 3{a^2}$

Kẻ IH vuông góc BC,  ($H \in BC$)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SIB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SIC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SIB} \right) \cap \left( {SIC} \right) = SI\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$

$\Rightarrow SI \bot BC$,  mà $IH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SHI} \right)$

$\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\,\,\\ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SH;IH}} \right) = \widehat {SHI} = 60^\circ \end{array}$

*) Tính IH:

Ta có: ${S_{ABCD}} = 3{a^2}$, ${S_{\Delta ABI}} = {a^2},\,\,{S_{\Delta IDC}} = \dfrac{1}{2}{a^2}$

$\Rightarrow {S_{\Delta IBC}} = 3{a^2} - {a^2} - \dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}$

$BC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \sqrt 5 a$

${S_{\Delta IBC}} = \dfrac{1}{2}.IH.BC \Rightarrow \dfrac{3}{2}{a^2} = \dfrac{1}{2}.IH.a\sqrt 5  \Rightarrow IH = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 5 }}$

Tam giác SIH vuông tại I

$\Rightarrow SI = \tan 60^\circ .IH = \sqrt 3 .\dfrac{{3a}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{3a\sqrt {15} }}{5}$

*) Thể tích khối chóp S.ABCD:

 ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a\sqrt {15} }}{5}.3{a^2} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}$

Chọn: C