Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có \(SA \bot \lef...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Giải chi tiết:

Dựng $AH \bot CD$ tại H,  $AK \bot SH$ tại K. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow CD \bot AK$

Mà $AK \bot SH \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AK = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}a$

Dựng $CI \bot AD$ tại I $\Rightarrow$$ABCI$ là hình chữ nhật có $AI = BC = a,\,\,IC = AB = 2a\,\, \Rightarrow ID = IC = 2a$

$\Rightarrow \Delta ICD$ vuông cân tại I $\Rightarrow \widehat D = 45^\circ \,\, \Rightarrow \Delta AHD$ vuông cân tại H$\Rightarrow AH = \dfrac{{AD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}$

$\Delta SAH$ vuông tại A có $AK \bot SH \Rightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}a} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{27{a^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{3\sqrt 6 a}}{2}$

ABCD là hình thang vuông tại A và B ${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\left( {3a + a} \right).2a = 4{a^2}$

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 6 a}}{2}.4{a^2} = 2\sqrt 6 {a^3}$.

Chọn: A