Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chuẩn nhất

Ở trong bài viết này Cunghocvui sẽ gửi đến các bạn bài góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì, cùng các bài tập và giải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung,... Để tìm hiểu những kiến thức vừa rồi hãy cùng tìm hiểu trong bài viết dưới đây ngay nhé!

A. Lý thuyết

1. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì?

- Góc mà có đỉnh nằm trên đường tròn và có một cạnh là tia tiếp tuyến, một cạnh còn lại chứa dây cùng của đường tròn thì được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

- Ví dụ: Quan sát hình ảnh dưới đây

Hình ảnh trên đây có hai góc \(\widehat{BAx},\widehat{BAy}\) là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

2. Định lý

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số góc của cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn, hai góc bằng nhau nếu góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung.

4. Định lý đảo

Góc \(\widehat{BAx}\) (có đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), cạnh Ax tia tiếp tuyến của đường tròn nếu tia đó có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây và cung nằm bên trong góc đó.

5. Hệ thức lượng trong đường tròn

Đường tròn tâm (O) được cho trước và bên ngoài đường tròn có điểm M, kẻ tiếp tuyến MT qua điểm M và cát tuyến MAB thì có \(MT^2 = MA.MB\)

B. Bài tập bài góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

I. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp làm bài

1. Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau (hoặc so sánh các góc)

a) Phương pháp: Dựa vào

- Định lý và hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

- Hai góc cần chứng minh cùng bằng với góc thứ ba

- Hai góc cần chứng minh cùng phụ với một góc

b) Ví dụ: Nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm M. MN là tiếp tuyến với nửa đường tròn ( trong đó N là tiếp điểm). Vẽ NH vuông góc với AB. Hãy chứng minh \(\widehat{MNA}=\widehat{ANH}\)

=> Lời giải chi tiết:

- Vì góc ANB chắn nửa đường tròn nên có số đo góc bằng 90 độ.

Suy ra tam giác ANB vuông tại N, vậy nên: \(\widehat{NBA}+\widehat{NAB} =90^0\)

- Ta có: \(NH \perp AB\) nên \(\widehat{ANH}+\widehat{NAH} = 90^0\)

Suy ra \(\widehat{ANH}=\widehat{NBA}\)  và cùng phụ với góc NAH

- Mặt khác do góc được tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên ta có hai góc \(\widehat{MNA}=\widehat{NBA}\)

- Vậy kết luận: \(\widehat{MNA}=\widehat{ANH}\)

2. Dạng 2: Tính số đo góc

a) Phương pháp: Sử dụng tính chất và hệ quả của góc tạo bởi giữa tia tiếp tuyến và dây cung

b) Ví dụ: Cho đường tròn tâm O cho PD là tiếp tuyến, AP, BC là đường kính. Hỏi số đo góc PDA bằng bao nhiêu?

=> Lời giải chi tiết:

- Vì góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên \(\widehat{PBC} = \widehat{CPD}\).  Suy ra \(\widehat{CPD} = 25^0\)

- Vì PA là đường kính nên \(\widehat{ACP} = 90^0\)

Suy ra: \(\widehat{DCP} = 90^0\)

Vậy: \(\widehat{PDA} = 65^0\)

3. Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song

a) Phương pháp

Sử dụng các dấu hiệu để nhận biết hai đường thẳng đó song song như:

- Hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song

- Hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau

b) Ví dụ: Hai đường tròn (O) và (O') cùng tiếp xúc trong tại A. Qua điểm A vẽ dây AB, AC của đường tròn (O) và cắt (O') theo thứ tự tại hai điểm D và E. Hãy chứng minh BC // DE

=> Lời giải chi tiết: Tại điểm A vẽ tiếp tuyến chung xy của hai đường tròn.

- Xét đường tròn tâm (O), do góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên ta có: \(\widehat{ABC} = \widehat{CAy}\)

- Xét đường tròn tâm (O'), do góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên ta có \(\widehat{ADE} = \widehat{CAy}\) 

Suy ra: \(\widehat{ABC} = \widehat{ADE}\) (do hai góc này ở vị trí đồng vị)

Kết luận: BC // DE

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn tâm (O) và đường thẳng (d) không cắt đường tròn, vẽ đường kính CD vuông góc với đường thẳng (d) tại điểm I. Vẽ tiếp tuyến IA với đường tròn tâm (O). Đường thẳng CA cắt (d) tại B. Hãy chứng minh rằng IA = IB

=> Hướng dẫn làm bài:

Do cùng phụ với góc C nên ta có \(\widehat{B_2}= \widehat{D_1}\)

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}, \widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)  nên \(\widehat{B_2}=\widehat{A_2}\)

Vậy ta suy ra được điều cần chứng minh

Bài 2: Cho đường tròn tâm (O) có tia Ax và By là tiếp tuyến. Hãy tính số đo góc \(\widehat{ACB} = 45^0\)

 

=> Hướng dẫn làm bài:

- Từ hệ quả ta có:  \(\widehat{ACB} = \widehat{BAx}\) nên \(\widehat{ACB} = 45^0\)

- Vì:

• By là tiếp tuyến nên \(\widehat{OBy} = 90^0\). => \(\widehat{OBC} = 90^0 - 60^0 = 30^0\)
• Do đoạn OB = OC nên tam giác OBC cân tại O => \(\widehat{OCB} = \widehat{OBC} \) => \(\widehat{OCB} = 30^0\)

- Vậy: \(\widehat{ACO} = \widehat{ACB}- \widehat{OCB} = 15^0\)

Bài 3: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cùng tiếp xúc trong tại A. Dây BC của đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường tròn (O';r) tại điểm M. Hãy chứng minh tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) là AM.

=> Hướng dẫn làm bài:

Kẻ tiếp tuyến chung Ax cắt đường thẳng BC tại F

Từ hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có \(\widehat{FAC} = \widehat{ABC}\)

Mà dựa vào tính chất góc ngoài tam giác nên \(\widehat{FMA} = \widehat{A_1} + \widehat{ABM}\)

Vì tam giác FAM cân tại F nên \(\widehat{FMA} = \widehat{FAM}\) nên \(\widehat{A_1} = \widehat{A_2}\)

Vậy ta có thể kết luận tia AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau lần lượt tại C và D. Một đường thẳng khác tiếp xúc với hai đường tròn này tại hai điểm A và B. Đường thẳng CD cắt AB tại M. Hãy chứng minh MA = MB

=> Hướng dẫn làm bài:

Dựa vào hệ thức lượng trong đường tròn ta sẽ có:

- \(MA^2\) = MC.MD

- \(MB^2\) = MC.MD

=> MA = MB (điều phải chứng minh)

Bài 5: Cho ba điểm A, B, C cùng thẳng hàng. Vẽ các đường tròn trong đó có AB và AC là đường kính. Đường tròn đường kính AC vuông góc với đường vuông góc với AC tại B giao nhau tại điểm D. Kẻ CK là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AB. Hãy chứng minh rằng CD = CK.

=> Hướng dẫn làm bài:

- Sử dụng hệ thức lượng trong đường tròn: \(CK^2 = CB.CA\) (1)

- Do tam giác ADC vuông tại D nên \(DB \perp AC\) => Hệ thức lượng trong tam giác vuông có \(CD^2 = CB. CA\) (2)

Vậy từ (1) và (2) suy ra CK = CD

Xem thêm >>> Giải Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - SGK

Trên đây là những kiến thức lý thuyết về bài góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung mà Cunghocvui muốn gửi đến các bạn học, mong rằng những bài tập và hướng dẫn giải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trên đây cũng sẽ giúp ích được nhiều cho quá trình học tập của các bạn. Nếu có bất kỳ thắc mắc hay đóng góp về bài viết bạn hãy để lại dưới bài viết nhé! Chúc các bạn học tập tốt <3