Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 5 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Trên tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại A, lấy điểm P sao cho $AP = R\sqrt 3$

a. Tính các cạnh và các góc của ∆PAO.

b. Kéo dài đường cao AH của ∆PAO cắt đường tròn (O) tại B. Chứng tỏ PB là tiếp tuyến đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

a. Ta có: AP là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên $AP ⊥ OA.$

Xét tam giác vuông PAO ta có:

$OP = \sqrt {O{A^2} + P{A^2}}$$\;= \sqrt {{R^2} + {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2R.$

Dễ thấy $∆PAO$ là nửa tam giác đều nên :

$\widehat P = 30^\circ$ và $\widehat O = 60^\circ$

b. Ta có: ∆BOA cân tại O (OA = OB = R) có đường cao OH đồng thời là đường phân giác $\Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2}$

Xét $∆PBO$ và $∆PAO$ có:

PO cạnh chung

${\widehat O_1} = {\widehat O_2}$ (cmt)

$OB = OA (=R)$

Vậy $∆PBO = ∆PAO$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat {PBO} = \widehat {PAO} = 90^\circ$

Hay PB là tiếp tuyến của (O)