Đăng ký

Bài 86 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài
 Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

a) 

{x25x+6<0ax+4<0

b)

{4x+1<7x2x22ax+10

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3

Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình: ax < -4

+ Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là x<4a

4a<0 nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là x>4a

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 

{a<04a<3a<43

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: a<4a

b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1

Xét bất phương trình thứ hai của hệ:

Ta có: Δ’= a2 – 1

Nếu Δ’= 0 ⇔ a = ± 1

+ Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1

Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Với a = -1, nghiệm của bất phương trình là x = -1

Nếu Δ’ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.

Do đó, hệ vô nghiệm.

Nếu Δ’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Nghiệm của bất phương trình này là: x1 ≤ 1  ≤ x2  (giả sử x1 < x2)

Theo định lý Vi-ét, ta có: x1x2 = 1 và x1 + x2 = 2a

+ Nếu a < -1 thì cả hai nghiệm x1 và  x2 đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.

+ Nếu a > 1 thì hai nghiệm x1 và x2 đều dương. Ngoài ra vì x1x2 = 1 và x1 ≠ x2 nên x1 < 1 < x2.

Do đó, hệ có nghiệm.