Đăng ký

Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng:
a) 11101 chia hết cho 100;

b) 1011001 chia hết cho 10000;

c) 10[(1+10)100(110)100] là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

a) Phân tích 1110=(1+10)10.

b) Phân tích 101100=(1+100)100.

c) Khai triển (1+10)100 và (110)100.

Lời giải chi tiết

a) 11101=(1+10)101=(1+C101.10+C102.102

+...+C109.109+1010)1

            =102+C210102++C910109+1010

Tổng sau cùng chia hết cho 102=100 suy ra 11101 chia hết cho 100.

b) Ta có

1011001=(1+100)1001

                  =(1+C1001.100+C10021002+...+

                  C1009910099+10099)1

                     =1002+C1002.1002+...+C10099.10099+100100

Tổng sau cùng chia hết cho 1002=10000 suy ra 1011001 chia hết cho 10000.

c) Ta có:

(1+10)100=1+C100110+C1002(10)2+...

+C10099(10)99+(10)100

(110)100=1C100110+C1002(10)2...

C10099(10)99+(10)100

10[(1+10)100(110)100]=

210.[C100110+C1003(10)3+..+C10099(10)99]

=2(C1001.10+C1003.102+...+C10099.1050)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra 10[(1+10)100(110)100] là một số nguyên.