Đề bài
Chứng minh rằng:
a) 1110–1 chia hết cho 100;
b) 101100–1 chia hết cho 10000;
c) √10[(1+√10)100–(1−√10)100] là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
a) Phân tích 1110=(1+10)10.
b) Phân tích 101100=(1+100)100.
c) Khai triển (1+√10)100 và (1−√10)100.
Lời giải chi tiết
a) 1110−1=(1+10)10−1=(1+C110.10+C210.102
+...+C910.109+1010)−1
=102+C210102+…+C910109+1010
Tổng sau cùng chia hết cho 102=100 suy ra 1110–1 chia hết cho 100.
b) Ta có
101100−1=(1+100)100−1
=(1+C1100.100+C21001002+...+
C9910010099+10099)−1
=1002+C2100.1002+...+C99100.10099+100100
Tổng sau cùng chia hết cho 1002=10000 suy ra 101100–1 chia hết cho 10000.
c) Ta có:
(1+√10)100=1+C1100√10+C2100(√10)2+...
+C99100(√10)99+(√10)100
(1−√10)100=1−C1100√10+C2100(√10)2−...
−C99100(√10)99+(√10)100
√10[(1+√10)100−(1−√10)100]=
2√10.[C1100√10+C3100(√10)3+..+C99100(√10)99]
=2(C1100.10+C3100.102+...+C99100.1050)
Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1+10)100–(1−√10)100] là một số nguyên.