Bài 6 trang 160 SGK Đại số 10
Đề bài
a) Xét dấu biểu thức: f(x)=2x(x+2)–(x+2)(x+1).
b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau
y=2x(x+2)(C1) và y=(x+2)(x+1)(C2).
Tính tọa độ các giao điểm A và B của (C1) và (C2)
c) Tính các hệ số a,b,c để hàm số y=ax2+bx+c có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A và B.
Hướng dẫn giải
a)
f(x)=2x(x+2)−(x+2)(x+1)=(x+2)(2x−x−1)=(x+2)(x−1).
Khi đó:
f(x)≥0⇔(x+2)(x−1)≥0⇔[{x+2≥0x−1≥0{x+2≤0x−1≤0⇔[{x≥−2x≥1{x≤−2x≤1⇔[x≥1x≤−2.
f(x)<0⇔(x+2)(x−1)<0⇔[{x+2>0x−1<0{x+2<0x−1>0⇔[{x>−2x<1{x<−2x>1⇔−2<x<1.
Vậy f(x)≥0 khi x∈(0;−2]∪[1;+∞).
f(x)<0 khi x∈(−2;1).
b) Hàm số: y=2x(x+2)=2x2+4x.
+) Tập xác định: R.
+) Đỉnh: (−1;−2).
+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: (−2;0),(0;0).
Ta có bảng biến thiên:
+) Xét hàm số y=(x+2)(x+1)=x2+3x+2.
Bảng biến thiên
Đồ thị (C1) và (C2)
Hoành độ các giao điểm A và B của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình f(x)=0⇔x1=−2,x2=1
⇔A(−2;0),B(1;6)
c) Theo đề bài ta có đồ thị hàm số y=ax2+bx+c đi qua A và B nên:
{4x−2b+c=0a+b+c=6⇔{a=b−2c=8−2b(1).
Để hàm số y=ax2+bx+c đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì:
{a<0−Δ4a=8⇔{a<04ac−b24a=8⇔{a<04ac−b2=32b(2)
Thay (1) vào (2) ta có:
+) Với b=0 ta có: a=−2,c=8⇒y=−2x2+8.
+) Với b=169 thì a=−29,c=409⇒y=−29x2+169x+409.