Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các phương trình:

a) $5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11$                     

b) ${{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}$ 

c) ${x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}$                            

d) ${{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$ 

e) $2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)$              

f) ${x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)$

Hướng dẫn giải

Đưa phương trình đã cho về dạng: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$. Sau đó sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết

a)

$\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}$

Phương trình có $a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0$ nên có 2 nghiệm ${x_1}= -1; {x_2}= 2$

b)

$\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr & \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6}$

c) ${x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}$  ĐKXĐ: $x ≠ 0; x ≠ 2$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} = 10 - 2{\rm{x}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Delta ' = 1 + 10 = 11 \cr & \Rightarrow {x_1} = - 1 + \sqrt {11} (TM) \cr & {x_2} = - 1 - \sqrt {11} (TM) \cr}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = - 1 + \sqrt {11},{x_2} = - 1 - \sqrt {11}$

d) ${{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$ ĐKXĐ: $x \ne  \pm {1 \over 3}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2{\rm{x}} + 1} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{14{\rm{x}} + 4} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + x - 1 = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 13{\rm{x}} - 5 = 0 \cr & \Delta = {( - 13)^2} - 4.6.( - 5) = 289 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {289} = 17 \cr & \Rightarrow {x_1} = {5 \over 2}(TM) \cr & {x_2} = - {1 \over 3}(loại) \cr}$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất: ${x_1} = {5 \over 2}$

e)

$\begin{array}{l} 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\  \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3  - 1} \right)x + 1 - \sqrt 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Delta  = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} - 8\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\\ \Delta  = 3 - 2\sqrt 3  + 1 - 8\sqrt 3  + 24\\  = 28 - 10\sqrt 3 \\  = {5^2} - 2.5.\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\\  = {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {x_1} = \frac{{\sqrt 3  - 1 - 5 + \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\ {x_2} = \frac{{\sqrt 3  - 1 + 5 - \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

f)

$\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.