Bài 5 trang 56 SGK Giải tích 12

Đề bài

a) $\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}$ < $\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}$;

b) $7^{\sqrt[6]{3}}$ > $7^{\sqrt[3]{6}}$.

Hướng dẫn giải

+) Đưa bài toán về dạng so sánh hai lũy thừa cùng cơ số: Với lũy thừa có cơ số lớn hơn $1$ thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Ngược lại, với lũy thừa có cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$ thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó nhỏ hơn.

+) Sử dụng công thức:  $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}.B} .$

+) So sánh hai căn bậc hai:  $a > b > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > \sqrt b .$

Lời giải chi tiết

a) ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}.$
Ta có: $2\sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} = \sqrt {20} ;\;\;3\sqrt 2 = \sqrt {{3^2}.2} = \sqrt {18} .$
Vì $20 > 18 \Rightarrow \sqrt {20} > \sqrt {18} \Leftrightarrow 2\sqrt 5 > 3\sqrt 2 .$
Lại có: $0 < \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}\;\;\left( {dpcm} \right).$
b) ${7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}.$
Ta có: $6\sqrt 3 = \sqrt {{6^2}.3} = \sqrt {108} ;\;\;3\sqrt 6 = \sqrt {{3^2}.6} = \sqrt {54} .$
Vì $108 > 54 \Rightarrow 6\sqrt 3 > 3\sqrt 6 .$
Mà $7 > 1 \Rightarrow {7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}\;\;\left( {dpcm} \right).$