Bài 5 trang 128 SGK Giải tích 12

Đề bài

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

a) $y =x^3$ và $y = x^5$ bằng:

A. 0                   B. -4                    C. ${1 \over 6}$                     D. 2

b) $y = x + sinx$ và $y = x$ $(0 ≤ x ≤ 2π).$

A. -4                  B. 4                      C. 0                      D. 1

Hướng dẫn giải

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số $y=f(x);$ $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a; \, \, x=b \, (a<b)$ có diện tích được tính bởi công thức:  $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.}$

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:

$x^5= x^3⇔ x = 0$ hoặc $x = ±1.$

Do đó: Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$\begin{array}{l} S = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - {x^5}} \right)} dx} \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^5}} \right)dx} } \right|\\ \;\; = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^6}}}{6}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^6}}}{6}} \right)} \right|_0^1} \right|\\ \; = \left| { - \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} \right| + \left| {\frac{1}{4} - \frac{1}{6}} \right| = \frac{1}{6}. \end{array}$

Chọn đáp án C

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

$x + sinx = x$ ($0 ≠ x ≠ 2x$)

$⇔ sinx = 0 ⇔ x = 0; x = π;  x = 2π$

Do đó, diện tích hình bằng là:

$\eqalign{ & S = \left| {\int_0^\pi {\sin {\rm{x}}dx} } \right| + \left| {\int_\pi ^{2\pi } {\sin {\rm{x}}dx} } \right| \cr & = \left| {\left[ { - \cos } \right]\left| {_0^\pi } \right.} \right| + \left| {\left[ { - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_\pi ^{2\pi }} \right.} \right| = 2 + 2 = 4. \cr}$

Chọn đáp án B