Bài 5 trang 121 SGK Hình học 11

Đề bài

Tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ADC$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a, AC = b$. Tam giác $ADC$ vuông tại $D$ có $CD = a$.

a) Chứng minh các tam giác $BAD$ và $BDC$ đều là tam giác vuông

b) Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh $IK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh $BA \bot \left( {ACD} \right);\,\,CD \bot \left( {ABD} \right)$.

b) Gọi J là trung điểm của BC, chứng minh $AD \bot \left( {IJK} \right) \Rightarrow IK \bot AD$.

Chứng minh tam giác $IBC$ cân tại I $\Rightarrow IK \bot BC$.

Lời giải chi tiết

a) 

$\left\{ \begin{array}{l} \left( {ABC} \right) \bot \left( {ADC} \right)\\ \left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\ \left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC \end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {ADC} \right)$

$\Rightarrow BA \bot AD \Rightarrow \Delta BAD$ vuông tại A.

$\left\{ \begin{array}{l} BA \bot \left( {ADC} \right) \Rightarrow CD \bot BA\\ CD \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BAD} \right)$

$\Rightarrow CD \bot DB \Rightarrow \Delta BDC$ vuông tại D.

b) Gọi $J$ là trung điểm của $AC\Rightarrow KJ//BA$

Mà $BA⊥(ADC) ⇒ KJ ⊥(ADC)⇒ KJ ⊥ AD$      (1)

Ta cũng có $IJ//DC ⇒ IJ ⊥ AD$                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AD⊥(KIJ)⇒ AD ⊥ IK\,\,\,(3)$

Ta lại có: $ΔBAI = ΔCDI  (c.g.c)⇒ IB = IC$

$⇒ ΔBIC$ cân đỉnh $I ⇒ IK ⊥ BC$   (4)

Từ (3) và (4) suy ra $IK$ là đoạn vuông góc chung của $AD$ và $BC$.