Bài 4 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $6cm$. Một điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM  = 2cm$

a) Tính độ dài của đoạn thẳng $AM$ và tính cosin của góc $BAM$

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM.$

c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ $C$ của tam giác $ACM.$

d) Tính diện tích tam giác $ABM.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$A{M^2} = B{A^2} + B{M^2}$$- 2BA.BM.\cos\widehat {ABM}$

$\eqalign{ & \Rightarrow A{M^2} = 36 + 4 - 2.6.2.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow A{M^2} = 28 \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 (cm) \cr}$

Ta cũng có:

$\eqalign{ & \cos \widehat {BAM }= {{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}} \over {2AB.AM}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM }= {{5\sqrt 7 } \over {14}} \cr}$

b) Trong tam giác $ABM$, theo định lí Sin ta có:

$\eqalign{ & {{AM} \over {\sin \widehat {ABM}}} = 2R \Leftrightarrow R = {{AM} \over {2\sin \widehat {ABM}}} \cr & R = {{2\sqrt 7 } \over {2\sin {{60}^0}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}(cm) \cr}$

c) Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

$\eqalign{ & C{P^2} = {{C{A^2} + C{M^2}} \over 2} - {{A{M^2}} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = {{36 + 16} \over 2} - {{28} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = 19 \Rightarrow CP = \sqrt {19} \cr}$

d) Diện tích tam giác $ABM$ là:

$S = {1 \over 2}BA.BM\sin \widehat {ABM}$$= {1 \over 2}6.2\sin {60^0} = 3\sqrt 3 (c{m^2})$