Bài 4 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Có bao nhiêu số chẵn có $4$ chữ số được tạo thành từ các số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải

Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.

Lời giải chi tiết

Tập hợp $A = \left\{{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}$

a) Gọi số có $4$ chữ số tạo thành là $\overline {abcd}$

Ta có: $\overline {abcd}$ chẵn nên:

Số 

$\overline {abcd} \left\{ \matrix{ a,b,c,d \in A \hfill \cr a \ne 0 \hfill \cr d \in \left\{ {0,2,4,6} \right\} \hfill \cr} \right.$

+) Có $4$ cách để chọn $d$

+) $a ≠ 0$ ⇒ có $6$ cách chọn $a$

+) Có $7$ cách chọn $b$ và $7$ cách chọn $c$

Vậy : $4.6.7.7 = 1176$ số chẵn $\overline {abcd}$ trong đó, các chữ số có thể giống nhau

b) Gọi $\overline {abcd}$  là số cần tìm 

Trường hợp 1: $\overline {abc0} (d = 0)$

Vì $a, b, c$ đôi một khác nhau và khác $d$ nên có $A_6^3$ số $\overline {abc0}$

Vậy có $A_6^3$ số $\overline {abc0}$

Trường hợp 2:  $\overline {abcd}$ (với $d ≠ 0$)

+) $d ∈ \left\{{2, 4, 6}\right\}$ $⇒$ có $3$ cách chọn $d$

+) $a ≠ 0, a ≠ d$ nên có $5$ cách chọn $a$

+)  $b ≠ a, b ≠ d$ nên có $5$ cách chọn $b$

+) $c ≠ a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$

$⇒$ Có $3. 5. 5. 4 = 300$ số  $\overline {abcd}$ loại 2

Vậy có: $A_6^3 + 300 = 420$ số  $\overline {abcd}$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.