Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Một hình chữ nhật $ABCD$ có $AB > AD$, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là $2a^2$ và $6a$. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh $AB$, ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Hướng dẫn giải

+) Quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định của nó ta được một hình trụ.

+) Chu vi hình chữ nhật có kích thước $a, \, b$ là: $C=2(a+b).$

+) Diện tích hình chữ nhật có kích thước $a, \, b$ là: $S=ab.$

+) Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh.$

+) Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=2 \pi rh +2 \pi r^2.$

+) Thể tích hình trụ là: $V=\pi r^2h.$

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $AB.AD = 2a^2$ (1)

Chu vi hình chữ nhật  là: $2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a$ (2)

Từ (1) và (2), ta có $AB$ và $CD$ là nghiệm của phương trình:

${x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0$

Giải phương trình ta được: ${x_1} = {\rm{ }}2a;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}a$

Theo giả thiết $AB > AD$ nên ta chọn $AB = 2a; AD = a$

Khi quay hình chữ nhật quanh $AB$ ta được hình trụ có $h=AB=2a$ và $r=AD=a.$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

${S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}$

Thể tích hình trụ là:

$V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}$