Bài 2 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng với $n\in {\mathbb N}^*$    ta luôn có:

a) ${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$;

b) ${4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$;

c) ${n^3} + {\rm{ }}11n$ chia hết cho $6$.

Hướng dẫn giải

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Lời giải chi tiết

a) Đặt $S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$

Với $n = 1$ thì $S_1= 9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n = k ≥ 1$, $S_k= ({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k)  \vdots$ $3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$$\vdots$ $3$

Thật vậy :

$S_{k+1}={\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}3{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}5\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$ 

$= {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5$

$= {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9$

 hay ${S_{k + 1}} = {S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k$ $\vdots$ $3$, mặt khác $3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3) \vdots$ $3$ nên $S_{k+1} \vdots$ $3$.

Vậy ${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$  ^.

b) Đặt ${S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$

Với $n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18$ nên $S_1  \vdots$ $9$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ thì ${S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$.

Ta phải chứng minh $S_{k+1} \vdots$ $9$.

Thật vậy, ta có:

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1$

                                    $= {\rm{ }}4({4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left( {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k  \vdots$ $9$  nên $4S_k   \vdots$ $9$, mặt khác $9(5k - 2)   \vdots$ $9$, nên $S_{k+1}  \vdots$ $9$

Vậy $(4^n+ 15n - 1)  \vdots$ $9$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$  

c) Đặt ${S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n$

Với $n = 1$, ta có ${S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12$ nên $S_1$ $\vdots$ $6$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ , ${S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}$$\vdots$ 6

Thật vậy, ta có 

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11$  

$= ({\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k){\rm{ }} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k$$\vdots$ $6$, mặt khác $k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4$ là số chẵn nên $3(k^2+ k + 4)$ $\vdots$ $6$, do đó $S_{k+1}$$\vdots$ $6$

Vậy $n^3+ 11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.