Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ với $A(2 ; 3 ; 7)$ và $B(4 ; 1 ; 3)$.

Hướng dẫn giải

Gọi mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Khi đó mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với $AB$ hay $(P)$ nhận  vecto  $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

Sau đó ta áp dụng công thức dưới đây để lập phương trình:

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)$ có dạng:  $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ 

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 3\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 2\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;\;2;\;5} \right).$

Khi đó mặt phẳng $(P)$ cần lập đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

Có $\overrightarrow{AB}(2 ; -2; -4)$ và $I(3 ; 2 ; 5)$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x -y -2z + 9 = 0.$