Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a) $y=\frac{2-x}{9-x^2}$                b) $y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$

c) $y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$          d) $y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}$

Hướng dẫn giải

Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng có dạng $\left( {a; + \infty } \right),\,\,\left( { - \infty ;b} \right)$ hoặc $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$). 

- Đường thẳng $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$.

- Đường thẳng $x=x_0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \end{array}$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty$ nên đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0$; $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0$  nên đường thẳng: $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 1;\frac{3}{5}} \right\}$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}$

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: $x=-1;x=\frac{3}{5}$.

Vì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}$

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\frac{1}{5}$.

c) TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty$ và $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d)

Hàm số xác định khi:  $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$

Vì  $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty$( hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty$ ) nên đường thẳng $x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì  $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1$ nên đường thẳng $y = 1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.