Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1$ ;       b) $y = sin2x – x$;

      c) $y = sinx + cosx$;         d) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1$.

Hướng dẫn giải

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$. Giải phương trình $f'\left( x \right) =0$ và kí hiệu  là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính $f''\left( x \right)$ và $f''\left( {{x_i}} \right)$.

Bước 4: Dựa vào dấu của $f''\left( {{x_i}} \right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: D = R.

$y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)$ ;

$y' = 0$ $⇔ 4x($$x^2$$- 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1$.

$y'' = 12x^2-4$.

$y''(0) = -4 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 0$,

$y$_CĐ  = $y(0) = 1$.

$y''(\pm 1) = 8 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm1$,

$y$_CT  =  $y(\pm1)$ = 0.

b) TXĐ: D = R.

$y' = 2cos2x - 1$ ;
$y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .$

 $y'' = -4sin2x$ .

 $y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{\pi }{6}+ kπ$,

$y$_CĐ  = $sin(\frac{\pi }{3}+ k2π) - \frac{\pi }{6} - kπ$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}- kπ$ , $k ∈\mathbb Z$.

$y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x =-\frac{\pi }{6}+ kπ$,

$y$_CT = $sin(-\frac{\pi }{3}+ k2π) + \frac{\pi }{6} - kπ$ =$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ$ , $k ∈\mathbb Z$.

c) TXĐ: D = R.

$y = sinx + cosx = \sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$;          

$y' =\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ;

 $y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow$$x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .$

$y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).$ 

$y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )$

$=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )$

$=\left\{ \matrix{ - \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$,

đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).$

d) TXĐ: D = R.

$y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)$; $y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm 1$.

$y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x$.

$y''(1) = 14 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$,

$y$_CT = $y(1) = -1$.

$y''(-1) = -14 < 0$ hàm số đạt cực đại tại $x = -1$,

$y$_CĐ = $y(-1) = 3$.