Cho  số phức $z$ và $w$ thỏa mãn \(z + w = 3...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Rút z theo w, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w.

+) Biểu diễn hình học tất cả các yếu tố có trong bài toán.

+) Tìm điều kiện để P đạt giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết:

$z + w = 3 + 4i \Rightarrow z = 3 + 4i - w \Rightarrow \left| {3 + 4i - 2w} \right| = 9 \Leftrightarrow \left| {w - \frac{3}{2} - 2i} \right| = \frac{9}{2}$

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I\left( {\frac{3}{2};2} \right)$ bán kính $R = \frac{9}{2}$.

Ta có: $T = \left| z \right| + \left| w \right| = \left| {w - 3 - 4i} \right| + \left| w \right|$

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w, $A\left( {3;4} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z = 3 + 4i$. Dễ thấy I là trung điểm của OA.

Khi đó $P = MO + MA$

${P_{\max }} \Leftrightarrow OM = OA \Leftrightarrow MI \bot OA$.

Ta có: $OI = \sqrt {\frac{9}{4} + 4}  = \frac{5}{2}$, $IM = R = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow OM = \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{81}}{4}}  = \frac{{\sqrt {106} }}{2}$

$\Rightarrow {P_{\max }} = 2OM = \sqrt {106}$.

Chọn đáp án D.