Chứng tỏ với mọi giá trị n là số nguyên t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân số \(\frac{a}{b}\) được gọi là phân số tối giản khi và chỉ khi ƯCLN\(\left( {a;b} \right) = 1\)

Giải chi tiết:

Gọi \(d = UCLN\left( {n + 1;2n + 3} \right).\)  Nên suy ra:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {n + 1\,} \right)\, \vdots \,\,d\\\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {2n + 3\,} \right)\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {2n + 3\,} \right)\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow \left( {2n + 3 - 2n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow d = 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {n + 1;2n + 3} \right)\,\, = 1\)

\( \Rightarrow \) Phân số \(\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}\) là phân số tối giản.

Vậy với mọi giá trị n là số nguyên thì phân số có dạng \(\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}\) đều là phân số tối giản.