Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \frac{1}{x}\)  thì  \(x = \frac{1}{t},\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } t = 0\)  sau đó nhân liên hợp, biến đổi biểu thức cần tính giới hạn theo \(t.\) 

Giải chi tiết:

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2}\left( {\sqrt {\frac{{x + 2}}{x}}  - \sqrt[3]{{\frac{{x + 3}}{x}}}} \right)\)

Đặt \(t = \frac{1}{x}\)  thì \(x = \frac{1}{t} \Rightarrow \,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } t = 0\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{x^2}\left( {\sqrt {\frac{{x + 2}}{x}}  - \sqrt[3]{{\frac{{x + 3}}{x}}}} \right) = \frac{1}{{\frac{1}{{{x^2}}}}}\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{x}}  - \sqrt[3]{{1 + \frac{3}{x}}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt {1 + 2t}  - \sqrt[3]{{1 + 3t}}}}{{{t^2}}} = \frac{{\sqrt {1 + 2t}  - \left( {t + 1} \right)}}{{{t^2}}} - \frac{{\sqrt[3]{{1 + 3t}} - \left( {t + 1} \right)}}{{{t^2}}}\\ = \frac{{\left[ {\sqrt {1 + 2t}  - \left( {t + 1} \right)} \right]\left[ {\sqrt {1 + 2t}  + \left( {t + 1} \right)} \right]}}{{{t^2}\left[ {\sqrt {1 + 2t}  + t + 1} \right]}} - \frac{{\left[ {\sqrt[3]{{1 + 3t}} - \left( {t + 1} \right)} \right]\left[ {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + \left( {t + 1} \right)\sqrt[3]{{1 + 3t}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2}}}} \right]}}{{{t^2}\left[ {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + \left( {t + 1} \right)\sqrt[3]{{1 + 3t}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2}}}} \right]}}\\ = \frac{{1 + 2t - {t^2} - 2t - 1}}{{{t^2}\left[ {\sqrt {1 + 2t}  + t + 1} \right]}} - \frac{{1 + 3t - {t^3} - 3{t^2} - 3t - 1}}{{{t^2}\left[ {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + \left( {t + 1} \right)\sqrt[3]{{1 + 3t}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2}}}} \right]}}\\ = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + 2t}  + t + 1}} + \frac{{t + 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2} + \left( {t + 1} \right)\sqrt[3]{{1 + 3t}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2}}}}}.\\ \Rightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + 2t}  + t + 1}} + \frac{{t + 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2} + \left( {t + 1} \right)\sqrt[3]{{1 + 3t}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2}}}}}} \right] = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn A.