Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy...

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AA', AB, BC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (C'AI) và (ABC) bằng $\dpi{100} 60^{o}$ . Tính $\dpi{100} V_{C'NAI}$ và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC'

A $\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{a^{3}}{32}$ ; $\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{2a\sqrt{3}}{8}$

B $\dpi{100} V_{C'NAI}= \frac{3a^{3}}{32}$ ; $\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}$

C $\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{a^{3}}{32}$ ; $\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}$

D $\dpi{100} V_{C'NAI}= \frac{3a^{3}}{32}$ ; $\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{2a\sqrt{3}}{8}$

Đáp án

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Xét tam giác C'CI vuông tại C: có góc I = $\dpi{100} 60^{o}$

CI =BC/2 = a/2

=> tan 60 = $\dpi{100} \frac{CC'}{CI}$

=> CC' = CI .tan 60 = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}$ = h

Xét tam giác NAI có: AN = AB/2 =a/2

=> AI = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $\dpi{100} \widehat{A}=30^{0}$

=> $\dpi{100} S_{NAI}=\frac{1}{2}.AN.AI.sin30=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{16}$

=> $\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}a^{2}}{16}=\frac{a^{3}}{32}$

Gọi O là giao điểm cuả AC' và A'C

=> MO = // NI//=AC/2

=> MNIO là hình bình hành => MI //IO

Có IO, AC' $\dpi{100} \subset$ (C'AI)

=> $\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}= d_{MN\rightarrow (C'AI)}=d_{N\rightarrow (C'AI)}$

$\dpi{100} \frac{d_{N\rightarrow (C'AI)}}{d_{C\rightarrow (C'AI)}}=\frac{GN}{GC}=\frac{1}{2}$

=> $\dpi{100} d_{N\rightarrow (C'AI)}=\frac{1}{2}d_{C\rightarrow (C'AI)}$

- Dựng và tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (C'AI)

- Kẻ CK ⊥ AI ( K≡ I )

Kẻ CH ⊥ C'K

=> $\dpi{100} d_{C,(C'AI)}=CH$

Xét tam giác vuông C'CI vuông tại C

Có: CC' = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; CI = a/2

=> $\dpi{100} \frac{1}{CH^{2}}=\frac{1}{CC'^{2}}+\frac{1}{CI^{2}}=\frac{16}{3a^{2}}$

=> $\dpi{100} CH = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ = $\dpi{100} d_{(C\rightarrow (C'AI))}$

=> $\dpi{100} d_{N\rightarrow (C'AI)}=\frac{1}{2}d_{C\rightarrow (C'AI)}$ = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{8}$

=> $\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Tổng hợp chuyên đề hình không gian - Có video chữa

Lớp 12 Toán học Lớp 12 - Toán học